Standardnormalverteilung

Verteilungen kann man mit verschiedenen Kennwerten beschreiben, unter anderem durch das arithmetische Mittel $($welches alltagssprachlich als „Mittelwert“ bezeichnet wird$)$ und durch die Standardabweichung, welche ein Maß dafür ist, wie weit die Werte um das arithmetische Mittel herum streuen. Die Standardnormalverteilung ist eine Verteilung mit einer ganz speziellen Form. (1) Sie ist symmetrisch, d. h. man könnte sie am arithmetischen Mittel spiegeln und die eine Seite würde genau auf die andere Seite passen. Das bedeutet auch, dass links und rechts vom arithmetischen Mittel gleich viele Werte liegen. Der Wert einer Verteilung, der die Verteilung in zwei Hälften mit gleich vielen Werten teilt, wird Median genannt. Bei der Normalverteilung sind arithmetisches Mittel und Median also identisch. (2) Das arithmetische Mittel ist 0. Der Median ist also auch 0. (3) Die Verteilung hat nur einen Gipfel, sie ist unimodal. (4) Links und rechts läuft die Verteilung in die Unendlichkeit aus. (5) Die Verteilung hat eine Glockenform. (6) Die Verteilung ist kontinuierlich (stetig) , d. h. dass zwischen zwei Werten theoretisch unendliche viele andere Werte liegen. Zwischen 3,5 und 3,6 liegen z. B. 3,51 und 3,54, aber natürlich auch 3,511 und 3,512 – mit unendlich vielen Nachkommastellen lassen sich zwischen zwei beliebigen Werten unendlich viele andere Werte finden. (7) Die Standardabweichung der Standardnormalverteilung ist 1. Die Varianz ist ebenfalls 1.

Links sehen Sie die Abbildung einer Standardnormalverteilung. Das arithmetische Mittel ist mit dem griechischen Buchstaben $\mu$ $($my$)$ bezeichnet. Die Standardabweichung ist mit dem griechischen Buchstaben $\sigma$ $($sigma$)$ bezeichnet. Bei einer Standardnormalverteilung liegen ca. 68,3 % der Werte um das arithmetische Mittel herum zwischen -1 $\sigma$ und +1 $\sigma$, also zwischen -1 und +1 $($da die Standardabweichung ja 1 beträgt). Die Fläche unter der Kurve zwischen den senkrechten Linien, die bei -1 $\sigma$ und +1 $\sigma$ eingezeichnet sind, beträgt also 68,3 % der Gesamtfläche unter der Kurve. 95,4 % der Werte liegen zwischen -2 und +2, und 99,7 % der Werte liegen zwischen -3 und +3.

Probieren Sie aus:

• Wie verändert sich die Wahrscheinlichkeit, wenn Sie die beiden Werte a von -4 und b von 4 auseinanderschieben?


• Welche Wahrscheinlichkeit liegt vor, wenn Sie für Wert a einen weit links liegenden Wert von -4 einsetzen und für Wert b einen Wert von 0?


• Welche Wahrscheinlichkeit liegt vor, wenn Sie für Wert a einen Wert von -2 und für Wert b einen weit rechts liegenden Wert von 1 einsetzen?


• Probieren Sie weitere Werte aus.

Literaturverzeichnis

Sedlmeier & Renkewitz (2018). Forschungsmethoden und Statistik. München: Pearson.